Sonsuzluk, çoğumuz için çelişkiler­le dolu bir kavram. Sonsuz bir elma yığınına bir elma eklerseniz, yığın son­suz olmaya devam eder; büyüklüğü de bir öncekiyle aynıdır. Eğer bankanızın kasasında sonsuz sayıda banknot var­sa, bir milyonunu alsanız da bankanın bir kaybı olmayacaktır. Hatta, sonsuz sayıda banknot alsanız bile, bankanın kaybının olmayacağı bir yöntem bile vardır.
Eğer şimdiden aklınız karıştıysa en­dişelenmeyin; bu, aklınızın gerektiği gibi çalıştığının bir göstergesi. Son­suzluk konusunda düşünmeye başla­dığınızda tehlikeli bölgeye girmiş olur­sunuz. Bu yalnızca felsefi bir tehdit değil, aynı zamanda matematiğin bir sorunu. Matematikçiler, sonsuzluğu akıllarından silip atmaya dünden ha­zırlar; ama onları engelleyen bir şey var: sonsuzluğun, yok sayılamayacak ölçüde yararlı bir kavram olması. Ger­çekte var olmasa bile, matematik bu-
ram buram sonsuzluk kokar. Birçok bakımdan matematiği matematik ya­pan da bu.
"Sonsuzluk"tan kastettiğimiz ne? Gündelik, sezgisel düzeyde sonsuzlu­ğun temel niteliği, büyük olması. Çok büyük. Hayır, bundan da büyük. Dü­şünebileceğinizden de büyük. Akıl al­maz bir büyüklük. Çocuklar saymayı öğrenirken, genellikle çok büyük sayı­lara -milyon, milyar, trilyon- ilgi duy­dukları bir dönem geçirirler. Çoğu, olanaklı en büyük sayının ne olduğu­nu düşünür. Kısa sürede, bir "en bü­yük sayı" olamayacağını, eğer olsaydı, ona l ekleyerek daha büyük bir sayı elde edileceğini akıl ederler. Sayma sayıları hiç durmadan büyür ve hiçbir zaman tükenmez. Bir anlamda son­suzdurlar. Ama bunun anlamı nedir?
Sonsuzluğun, durmadan sayma so­nucunda erişilen bir sayı olmadığını vurgulayalım. Her sayma sayısı, ne denli büyük olursa olsun, sonludur.
Bu bağlamda "sonsuz"un böyle bi sayı olmadığı anlamı çıkar. Sonsuz, yeni sayılar oluşturmanın hiç bitmeye­ceğini söyleyen bir mecazdır.
Matematikte sonsuz konusundaki ilk ciddi çalışma, Eski Yunan'a ve Ok-, lid'in asal sayılar konusundaki çalış­masına gider. Öklid, Elemanlar adlı eserinde (ilk geometri metni) "Asal sa­yılar, verilen herhangi bir asal sayı çokluğundan daha fazla sayıdadır" önermesini ispatlar. Başka deyişle, sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Filozoflar bu tür kavramları "gizil sonsuz" olarak tanımlar ve gerçekte ona hiçbir zaman ulaşamayacağınız için, onun görece zararsız bir sonsuz­luk olduğunu düşünürler. Sonsuzlu­ğun, gerçekten tehlikeli gibi görünen başka türleri de var.) Gizil (potansiyel) sonsuzluk, matematik tarihinin son derece önemli bir noktasında sorunu çözmüş oldu. Godfried Leibniz ve Isa-ac Newton kalkülüsü icat ederken,
Bilim ve Teknik 86 Aralık 2003
sonsuzun yakın bir akrabası olan "sonsuz küçük" (infinitesimal) ile yüz­leşmek zorunda kaldılar.
Eğer sonsuzu, sonlu her sayıdan büyük olan birşey olarak düşünürse­niz, sonsuz küçük de sıfır olmayan, ama, sıfır olmayan her sayıdan küçük olan "birşey"dir. Başlangıçta matema­tikçi ve filozofların bu kavram konu­sunda kafaları epey karıştı; çünkü te­mel bir noktayı farkedemediler. Son­suz, nasıl öteki sayılar gibi bir sayı ola­mazsa, sonsuz küçük de öteki sayılar gibi bir sayı olamazdı. Sıfır olmayan her sayıdan küçük olan tek sayı sıfır­dır; ancak, sonsuz küçüklerin var ol­maları için öne sürülen gerekçe, sıfır kullanmayı önlemekti.
Sonunda matematikçiler "sonsuz küçük"ün bir sayı değil, bir süreç ol­duğunu anladılar. "Saymayı sürdür­me" sürecinin "sonsuz" yerine geçen uygun bir süreç oluşturması gibi, "kü­çültmeyi sürdürme" de "sonsuz kü­çük" yerine geçen bir süreç geliştirir.
Bu yolla sonsuz, arka kapıdan içeri alınırken saygınlığını da yitirmiyor. Hatta kendine bir simge bile ediniyor: . Sonsuzluk, bizim sıfıra bölme gibi yasaklanmış şeyleri yapmamıza izin verir. Bir matematikçinin 1/0 = ya­zarken kastettiği, l'i 0'a bölünce çı­kacağı değil. Söylediği, x sayısı sürek­li küçülerek sıfıra yaklaşırsa l/x'in, herhangi bir sınır olmaksızın giderek büyüdüğü. Yine de, gizli kurallar, an­cak çok üst düzey bir matematikçinin bu şekilde yazmasına izin verir.
Günümüz matematik, fizik ve öteki bilimlerinin çok büyük bir kesimi, Newton ve Leibniz'in kalkülüsüne da­yanır; bu da bizim sonsuz (sonsuz bü­yük ya da küçük) kavramını daha dar sınırlar içinde belirlememizin önemini vurgular. Gizil sonsuzu bir sürecin kı­sa yazılışı olarak tanımlamak, daha önceki matematikçilerin belirsizlik içe­ren çok ilginç, bir o kadar da sinir bo­zucu çalışmalarına anlam vermeyi ola­naklı kılmıştır. Sözgelimi, sonsuz tane sayıyı toplayarak, gerçekten anlamlı sonuçlar bulabilirsiniz. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... vb.nin sonsuza kadar topla­mı nedir? Dizinin herhangi bir yerinde durmanız, işi hayli karıştırabilir. Örne­ğin, ... + 1/1024'te durursanız, top­lam 1023/1024 olur. Ama sonsuza ka­dar devam ederseniz, sonuç l'dir. Tam olarak 1.
Sonsuzluğu bir süreç olarak tanım­lamak, matematikçilerin, Eski Yunan filozof ve matematikçisi Zeno'nun ile­ri sürdüğü paradoksları çözümlemele­rini sağlar. Bunlardan en bilineni, tav­şanla kaplumbağanın yarışı. Kaplum­bağa tavşanın yarım km önünden baş­lar ve tavşan kaplumbağanın iki katı hızla koşar. Tavşan yarım km çizgisi­ne geldiğinde, kaplumbağa dörtte bir ilerdedir tavşan 3/4 km noktasına ulaştığında kaplumbağa 1/8 km daha ilerlemiştir. Tavşan bu 7/8 noktasına vardığında, kaplumbağa yine daha ile­riye gitmiştir, vs. Zeno, tavşanın kap­lumbağayı yakalaması için sonsuz sa-
Bu çözüm, matematikçiler için son­suz kavramının vazgeçilmez olduğu­nun kanıtlarından yalnızca biri. Ancak sonsuz, gereksinimden öte birşey. Sonsuz, aynı zamanda matematikle gerçek dünya arasındaki ilişki konu­sunda temel bir içgörü sağlar.
Şu ip aldatmacasını ele alalım. Si­hirbaz, yardımcısının uzattığı kalın, yumuşak bir ipe bir düğüm atar. Son­ra ipin daha ilerideki bir bölümünde tümüyle ayrı bir düğüm atar. İpi iki ucundan tutar, onu bir döndürüp ge­rer ve abrakadabra! Düğümler birbir­lerini götürerek yok olurlar! Çok etki­leyici; çünkü "karşı-düğüm" diye bir­şey yok.
Sihirbazın, düğüm atmak yerine, ipi bir çubuk çevresinde birkaç kez sardıktan sonra, ters yönde aynı sayı­da sardığını düşünelim. Daha sonra ipi iki ucundan tutup çektiğinde, ipin çubuktan ayrılması sizi şaşırtmaz. Sa­at yönüne ters halkalar, saat yönünde-kileri götürür. Düğümlerde farklı olan nedir? Bunun anlamsız bir soru oldu­ğunu sanmayın. Düğümler modern fi­ziğin önemli bir bölümüdür; evrenin birçok niteliklerinin temelinde yatar. Ancak, karşı-düğüm atmanın olanak­sız olduğunu deney yoluyla ispatlaya-mazsmız. Bu, matematikle ispatlanabi­lir. Karşı-düğümlerin var olmadıkları­nın en basit ispatı sonsuzluğu kulla­nır.
Sonsuzluk gibi kaygan bir kavram, düğüm gibi çok sıradan bir şey hak­kında anlamlı birşey nasıl söyleyebilir? D işaretinin bir düğümü, O işaretinin de düğümsüz bir ipi gösterdiğini var­sayalım. D, basit bir düğüm olabilir. Bir K karşı-düğümünün var olduğunu farzedelim; öyle ki, üzerinde D ve K düğümleri olan bir ip, uçları üzerinde oynanmadan düğümsüz bir ipe dönüş­sün. Sembollerle bunu D + K = O şek­linde ifade ederiz. K'yi çok gevşek, D'yi de çok sıkı yaparak, D'yi ip bo­yunca K'nin içinden kaydırıp öteki ta­rafa geçirelim. Bu sefer de K + D = O olur. (Bu gözlem can alıcı öneme sa­hip; ama yalnızca bir matematikçi bu­nu farkeder.) Şimdi sıra, sonsuzu kul­lanım kurnazlığında. Hiç bitmeyen D + K + D + K + D + K... düğümlerini bağladığımızı düşünün. Zeno'yu anım­sayın ve her düğümü bir öncekinin ya­rısı büyüklüğünde yapın; öyle ki, son­suz dizinin tümü, sonlu bir ipin (çok
yıda koşular yapması gerektiği sonu­cuna varır ki, bu da anlamsızdır.
"Sonlu bir zaman içinde sonsuz sa­yıda şey yapılabilir mi?" gibi derin ko­nulan bir yana bırakırsak, mantıkta bir boşluk olduğu ortada. Zeno, tavşa­nın 1/2 km, 3/4 km, 7/8 km ... vb. yol aldığında kaplumbağaya yetişemediği­ni ispatlıyor. Bu tümüyle doğru olsa da, konuyla pek ilgili değil. Bir şeyi kovalarken onu yakalamadığınız bir­çok nokta olur. Asıl soru şu; Onu ne­rede yakalarsınız? Tavşanın kaplum­bağayı yakaladığı yer, tam olarak l km ötesidir. Tavşan l km koştuğunda kaplumbağa yarım km gitmiştir; baş­langıç noktası hesaba katıldığında ay­nı noktada olurlar. Bunu görmenin bir başka yolu şu: Kaplumbağayı yaka­lamak için tavşanın katettiği yol 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... km'dir. Bu dizi hiç dur­madan uzar gider ve toplamı l'dir. Bu, tavşanın ilelebet koşması demek değildir; çünkü geçen zaman da uzak­lıklarla aynı ölçüde küçülür.
Aralık 2003 87 BİLİM veTEKNİK
ince) içine sığsın. (D + K) + (D + K) + (D + K) + ... olarak düşünebileceğimiz bu "toplam", O + O + O + ... ile aynıdır; yani uç uca yapıştırılmış birçok düğüm­süz iple; yani O ile. Öte yandan bu top­lamın D + (D + K) + (D + K) + ... şek­linde uzayıp gittiğini de düşünebiliriz. Buysa D + O + O + ... yani D + O = D'dir. Her iki toplamın sonucunun aynı olma­sı gerekir. Öyleyse D = O'dır. Yani bü­tün D'ler düğümsüzdür.
Vardığımız sonuç şu: Eğer D, ipin sonuna kaydırmadan çözülemeyen gerçek bir düğümse, K biçiminde bir karşı-düğüm yoktur. Eğer D ve K sayı olsalardı, bu tür bir hesaplama geçer­siz olacaktı. Çünkü, sonsuz bir mate­matiksel toplam, gerçek dünyada akla uygun anlam taşıması bir yana, akla uygun matematiksel bir sürecin sonu­cu olarak bile anlamlı değildir; iyi ta­nımlanmış bir değere doğru uslu uslu "yaklaşmaz".
Ama sonsuz bir düğümler toplamı yaklaşır: Giderek küçülen ve sayıca ar­tan düğümler yapma sürecini temsil eder ki, bunun da iyi tanımlanmış bir sonucu vardır. Bu sonucun, son dere­ce çapraşık bir düğüm olduğunu itiraf etmek gerekir. Öyle çapraşık ki, bildi­ğimiz iplerle değil, yalnızca bir mate­matikçinin sonsuz incelikte ipiyle ya­pılabilir. Ancak, sonuç geçerlidir: Ger­çek düğümlerle sonsuz toplamın bir anlamı vardır. Bu örnekte sonsuz, dü­ğümlerde, sayılarda olduğundan daha başarılıdır.
Bütün bunlardan çıkan sonuç ne? Bir kere, matematikçilerin "gerçek dünya"yı taklit ettiği değil. Gerçek dünyada "sonsuz düğümler" diye bir-şey yok. Ancak, var olsaydı ne yapa­caklarını düşünmek, bize gerçek dü­ğümler hakkında önemli birşey söyler: Karşı-düğüm diye birşey yoktur. Mate­matiğin hammaddeleri bazı bakımlar-
dan gerçek dünyaya paralel olduğu halde, düşünce örgülerinin gerçekli­ğin dışına çıkabilmesi, matematiğin gücünü oluşturur. Sonuçlar, gerçek dünya konusunda bize yararlı şeyler söyleyebilir; sonuçlara giden adımlar, gerçek dünyada bariz benzerleri olma­yan şeyler içerse bile, farketmez. İşte yanlamasına düşünmede son aşama!
Klasik matematikte "sonsuzluk" kavramının çoğu kullanımı, gerçekte "gizil sonsuzluğun" kullanımını içerir ve gerçek dünyanın, sonlu nicelikler kullanarak elde edemediğimiz model­lerini sağlayan süreçler olarak ifade edilebilirler. Şimdiye dek incelediği­miz gizil sonsuzlara -hiç son bulma­yan diziler içeren sonsuzlara- tepkiniz her ne olduysa, bunlar aklınızı başı­nızdan alacak sonsuzlar değil. Siz he­le bir de Georg Cantor'un aklını ger­çekten başından alan gerçek sonsuzla­rı görün!
Rus doğumlu Alman matematikçi Cantor, 1874'te bazı sonsuzların öte­kilerden büyük olduğunu keşfetti. Bir­kaç yıl içinde de sinirsel bir bunalıma girdi. Çalışmasının giderek çığrından çıktığını düşünen çalışma arkadaşla-rıysa buna hiç şaşırmamışlardı. Can-tor'a hakkını vermek gerekirse, hasta­lığının gerçek nedeni, yalnızlığı ve ça­lışma arkadaşlarının onun söyledikle­rini anlamamasının verdiği bunalımdı. Onun çalışmalarını gerçekten kavraya-bilenler, ancak daha sonraki nesillerin matematikçileri oldu.
Cantor'un geliştirmeye çalıştığı alan, günümüzde küme teorisi olarak anılır. Bir küme, matematiksel öğele­rin bir topluluğundan ibarettir. Sonlu kümeler sayılabilirler. Örneğin, ele­manları 2, 3, 5 ve 7 olan kümede dört eleman vardır. Cantor, tamsayılar gibi sonsuz kümeleri saymaya çalışmamız durumunda ne olacağını düşünmeye
başladı. Bu yolla sonsuz için bir tür öl­çüm elde edildiğine karar vererek, ona "sonsuz kardinal" (kardinal sa-yı=sayma sayısı) adını verdi. Bunun ne anlama geldiğinden emin olmak için bu büyüklükteki sonsuzu X0 sembo-lüyle gösterdi. Bu sembol İbranice "alef" harfiydi, O ise onun ilk sonsuz kardinal sayı olduğunu belirtiyordu. Bütün tamsayılar kümesinin eleman sayısı alef-0 olduğu gibi, elemanları tamsayılar kümesiyle bire-bir eşleştiri-lebilen bütün kümelerin eleman sayısı da aynıydı. Örneğin, çift sayılar küme­si şu şekilde eşleşebilir:
1  2 3 4 5 ...
2  4 6 8 10 ...
Çift sayılar, tamsayılar kümesinin her elemanını içermediği halde, her iki kümedeki eleman sayısı aynıdır.
Cantor daha sonra daha büyük gö­rünen çeşitli kümelerin de (pozitif ve negatif tamsayıların birlikte oluştur­duğu küme, hatta olanaklı bütün ke­sirlerin oluşturduğu küme gibi) alef-0 sayıda elemanları olduğunu ispatladı. Öyleyse, alef-0 "sonsuzluk" için şık bir sembol olsa gerek. O zaman sıfırı atıp sadece X , ya da sonsuz diyebilirdik. Ne var ki, Cantor daha sonra çok il­ginç ve beklenmedik bir şey keşfetti: bazı kümelerin eleman sayısı alef-O'dan büyüktü.
Sözkonusu küme, yalnızca tamsa­yıları ve kesirleri değil, aralarındaki bütün sayıları da içeren "reel" sayılar kümesiydi. Bulduğu daha büyük tek küme bu olduğu için, ilk aklına gelen, ona "alef-1" demek oldu. Ancak, alef-O'dan bir sonra gelen kümenin bu olup olmadığından emin olmadığını da itiraf ediyordu. Arada bir başka sonsuz olabilir miydi? Bu problem 1960'lara kadar çözülemedi. Çözül-
BİLİM ve TEKNİK 88 Aralık 2003
meden kastettiğimiz, Amerikalı mate­matikçi Paul Cohen'in, yanıtın "evet ve hayır" olduğunu ispatlamasıydı. Yanıt, matematiğin sahip olmasını is­tediğiniz niteliklere bağımlıydı.
Bunun nedeni, matematiğin tanrı vergisi mutlak bir şey değil, bir insan yapıtı olmasıdır. Matematiksel süreç­lerimizi oluştururken -özellikle son­suzluk konusunda- koyacağımız ma­tematiksel temellerde esneklik vardır. Bu nedenle Cantor'un iki yanıtından her biri, mantıksal olarak tutarlı ola­bilir.
Cantor'un en büyük başarılarından biri de, her çocuğun bildiğimiz tamsa­yılar hakkında keşfettiği şeyi yansıtır: bir "en büyük tamsayı" olmadığı. An­cak, Cantor çok daha ileri giderek, bir "en büyük sonsuz" da olamayacağını ileri sürdü. Sonsuz kardinaller listesi, Alef-0 ile başlayıp, her adımda daha da büyüyordu; hiç sonu yoktu.
Cantor'un düşünceleri, bize tuhaf gelse bile, temel nitelikte olmanın ya-nısıra birçok bilim alanında da yarar­lıdırlar. Matematiğin (örneğin olasılık teorisi), fiziğin (kuantum mekaniği ve kuantum teorisi), hatta biyolojinin (nüfus dinamikleri istatistik yoluyla sonsuzluğun farklı derecelerini anla­maya bağlıdır) temellerinde bunları görmek olası. Bu daha yüksek derece­den sonsuzluklarla çalışmak karma­şık ve zor bir süreç olabilir, ama bü­yüleyici sürprizlere de yol açar.
Bu, bizi çelişkili de olsa uygun bir sonuca götürür. Sonsuzluk bile -han­gisini seçerseniz seçin- "var olan en büyük şey değildir". Her zaman daha büyük bir şey vardır. Ama sorun de­ğil, sonunda onunla yaşamayı öğreni­yorsunuz; özellikle onsuz yaşayama­yacağınızı anlayınca.
bile hiçbir ilgisi olmayan insanlar, sonsuzluğu nasıl algılıyorlar? Çoğu­muz belki de onu düşünmekten bile hoşlanmıyoruz. Çünkü bu, şiddetli ba-şağrılarına yol açan türden bir soyut düşünce tarzı. Neyse ki, sonsuza ve onunla nasıl başedileceğine oldukça ilgi gösteren kişiler var. Yanıtlarıysa belki biraz şaşırtıcı: Sonsuzluğu bede­nimizi kullanarak algılarız.
Yani mecazi olarak. Berkeley'deki California Üniversitesi'nden bilişsel dilbilimci George Lakoff, sonsuzu an­cak bedenimizle yapabildiklerimize dayanarak anlayabildiğimizi düşünü­yor. Sonsuzun yarattığı başağrısın-dan kurtulma yolunun, yürümek, zıp­lamak, nefes almak gibi tekrarlanan, art arda gelen şeylere olan alışkanlı­ğımızdan yararlanmak olduğunu söy­lüyor.
Lakoff'un araştırmaları onu, me­caz kullanarak her türlü soyut kavra­mın üstesinden gelebildiğimize inan­maya yöneltmiş. "Çok soğuk bir ka­dın" ya da "içim ona çok ısındı" ifade­lerini ele alalım. Burada, kişiye duyu­lan yakınlığın derecesi, sıcaklıkla olan duyusal deneyimimizi kullanan me­caz yoluyla anlaşılmakta. Bir işin geli­şim durumunu anlatırken de, bir yere varma deneyimiyle ilişki kurarız: "Henüz o noktaya gelmedim" ya da "sonuca yaklaştım", ya da "önümde aşmam gereken bir engel var" gibi.
Bütün bu mecazları sürekli kulla­nırız. Lakoff, dünyanın farklı kültür­lerinde, bunların binlerce benzerinin bulunduğunu söylüyor. Ancak bunlar insanlarla, onların eylemleri ya da
duygularıyla sınırlı değiller. "Fransa düşüş dönemine girdi", ya da "Hindis­tan liberalleşmek için çırpınıyor" gibi soyut ekonomi tartışmalarında, ben­zer fiziksel mecazlar kullanıyoruz. Eğer aklımız ekonominin soyut kav­ramlarını bedenimizin soyut deneyim­leri yoluyla kavrıyorsa, sonsuzu anla­mamızın yolu da mı bedenimizden ge­çer?
Lakoff ve San Diego'daki Califor­nia Üniversitesi'nden bilişsel bilimler uzmanı Rafael Nünez'in iddiası böyle. 1990'lı yılların başında Nünez, insan aklının "gerçek" bir sonsuzluk kavra­mını -hep ima edilen, ama asla erişi-lemeyen "gizil" sonsuzun aksine-sonsuzda var olan bir nokta olarak nasıl kavradığımızı merak ediyordu. Örneğin, sayma sayılarının sonsuzlu­ğu, gizil bir sonsuzluktur; çünkü sayı­lar hiçbir zaman ona ulaşmazlar. Nu-nez, hiçbir insanın gerçek bir sonsuz­lukla doğrudan deneyimi olmadığı için, onun hakkında düşünmek için bir tür mecaz kullanmamız gerektiği­ni ileri sürdü. Bu ne olabilirdi?
1993'te Nünez, Lakoff'la bu konu­da çalışmak üzere Berkeley'e gitti. La­koff insan düşünce ve dilindeki me­cazlar üzerindeki araştırmaların ba­şındaydı. Kısa sürede, o zaman Berke-ley'de doktora öğrencisi, şimdi de Berkeley'deki Uluslararası Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü'nde araştırmacı olan Srini Narayanan ile bir üçlü oluş­turdular.
Narayanan beynin, bedensel hare­ketleri nasıl kontrol ettiği konusunda bilgisayar modelleri geliştiriyordu. Beynin kontrol mekanizmasını taklit etmeyi amaçlayan bütün motor kont­rol programlarının temel bir yapısı ol­duğunu farketti. Bu yapı "hazır ol", "hareketi başlat", "hedefe ulaşılıp ula­şılmadığını kontrol et" gibi durumlar içeriyordu.
Lakoff, Narayanan'ın çalışmasına baktığında, bu yapının aynısını başka yerlerde de gördüğünü farketti. Dün­yadaki bütün dillerin gramatik yapısı, insanların eylemlerini ve olayları be­timlemelerini mümkün kılan şifreler içeriyordu. Örneğin, birisi "John atla­dı" dediğinde, John'un atlamaya ha­zırlanırken başlayan ve yere basma­sıyla son bulan bir dizi durumu gözü­müzde canlandırdığımız, dilbilimciler-ce saptanmış durumda.
Büyük Düşünün
Beyniniz sonsuzluğu nasıl algılı­yor? Beynin, hiç doğrudan deneyimi olmadığı konularda, ufuklarını geniş­letmek için akıl almaz bir yöntem uy­guladığı söyleniyor. Bunu belki de en iyi dile getiren, oyun yazarı Alfred de Musset. 1838'de "Elimde değil, son­suzluk kavramı bana işkence çektiri­yor" demişti.
Günlük yaşamlarında sonsuz bir yana, sonsuzluğa yaklaşan bir şeyle
Aralık 2003 89 BILIM ve TEKNIK
ye kadar sürüp gider. Nünez şunları ekliyor: "Belki de tek tanrılı sistemle­rin çoğunun, bir şekilde BMI ile ilgili olduğunu iddia ediyoruz. BMI, her türden referans çerçevelerini, bir so­na gidecek şekilde, bir doğru üzerin­de sıralamayı içeriyor. İlişkiler zinciri­nin sonundaki çarpıcı "son" ise, bir anlamda "tam-yetkin" bir varlık.
BMI'yi matematikte kullanmak bi­raz daha karmaşık bir süreç. "Belirli alanlarda BMI'yi matematiğe uygula­mak, eğitim gerektirir" diyor Nünez. Lakoff ve Nünez, iki paralel doğru­nun sonsuzlukta nasıl birleştiği gibi, matematikte gerçek sonsuzluğu iyi bi­linen örneklerin birçoğunu inceledi­ler. Bütün bunların BMI'nin özel du­rumları olduğunu varsayıyorlar.
Matematikteki fikirlerinin ardında yatan akıl yürütmeyi açıklamak için Lakoff ve Nünez'in, birkaç sayfalık bir makale değil, bir kitap yazdıkları­nı belirtmek yerinde olur. Çalışmaları­nın tartışma yaratmış olması doğal. Unutulmamalı ki bu çalışmalar, çağ­lar boyu benimsenmiş olan, sonsuzlu­ğun ve matematiğin, rastlantısal ola­rak ortaya çıkmış evrensel gerçekler olduğu görüşüne meydan okumaktay­dı; ama, yine de çok iyi karşılandılar. Asıl sınav, belki de sezgisel tepkiler­den geçiyor. Matematikçiler gerçek sonsuzluğu gözlerinde böyle mi can­landırıyor? Philadelphia'daki Temple Üniversitesi'nden matematikçi John Ailen Paulos'a göre, yanıt evet. "Be­nim sonsuz hakkındaki düşüncem aşağı yukarı BMI ile tutarlı" diyor.
Eğer Lakoff ve Nünez haklıysa, bu­nun sonsuzluğun ve matematiğin bü­yüsüne etkisi ne olur? Lakoff, "Ger­çek sonsuzluk kavramının insanların uydurduğu bir mecaz olduğunu anla­mak, dünyayla matematik arasındaki ilişkiler hakkında düşünülen şeylerin tümünü değiştirir. Matematiği insan­ların bir ürünü olarak ele almak, çok daha ilginç" diyor. Öte yandan, bunu bir züğürt tesellisi olarak görebilirsi­niz. Eğer sonsuzluk kavramı, size de Alfred de Musset'ye ettiği gibi işkence ediyorsa, bunun için yalnızca kendini­zi, ya da en azından bedeninizi suçla­yabilirsiniz.
Çeviri: Nermin Arık
Kaynaklar:
Stewart, !. "Never Ending Story" New Scientist, Eylül 2003
Ananthaswamy, A. "Think Big" New Scientist. Eylül 2003
Bilişsel dilbilimci George Lakoft'a göre bizim sonsuzluğu kavramsallaştırma yolumuz, hiç bitmeyen bir sürecin son noktasını hayal etmektir. Bu örnekte üçgen, yan kenarları paralel olana, tepe noktası da sonsuz­da olana kadar sürekli uzar.
Lakoff, Nünez ve Narayanan, be­yinde bedensel hareketleri kontrol eden sistemin, bütün soyut kavramla­rı ele alırken kullanılabilmesi konusu üzerinde düşünüyorlardı. Fransa'nın düşüş dönemine "girmesi" o ülkenin ekonomik durumundaki olumsuzlu­ğun en iyi ifadesiydi. "Problem çöz­me ya da karmaşık olaylar hakkında akıl yürütmenin mantıksal alt yapısı­nın, beyindeki hareket ve algılama yapılarıyla bağlantısı olabilir" diyor­du Narayanan.
Bu düşünceye dayanarak, Nünez ve Lakoff matematiğe tümüyle yeni bir anlayış geliştirdiler. Lakoff, sayıla­rı, bir doğru üzerinde noktalar ola­rak algıladığımız mecaz yoluyla kav-ramlaştırdığımızı söylüyor. Eğer me­caz kullanan herhangi bir akıl yürüt­me, hareketi kontrol eden sinirsel sü­reçler tarafından kısıtlanıyorsa, mate­matiğin de benzer biçimde kısıtlan­ması olası. Matematiği, yalnızca be­denlerimizin yapabildiklerine ve du-yumsadıklarına paralel durumlar yo­luyla anlayabiliriz. Hatta araştırmacı­lar, matematiğin bizim fiziksel dünya deneyimlerimizden doğduğunu söy­leyecek kadar ileri gidiyorlar. Lakoff "Matematiği bizler yarattık; matema­tik bedenimizin, beynimizin ve dün­yadaki etkinliklerimizin bir ürünü ve tümüyle insani bir yapıt. Farklı be­denleri olan öteki yaratıkların mate­matikleri varsa bile, bu matematik tü­müyle farklı kavramlar içerir" diyor.
Sonsuzluğu anlama konusunda bu bizi nereye götürüyor? Yanıt, son­suzluğun türüne bağlı. Kenar sayıla­rı hiç durmadan artan poligonlar gibi olası sonsuz durumlar, hiç son bul-
mayan süreçler olarak kolayca kav-ramlaştınlabilirler. Her aşama hâlâ kavranabilir bir sonuçtur: bir fazla ke­narı olan bir poligon. Ne denli büyük bir poligon verilirse verilsin, ona bir fazla kenar eklemeyi başarabiliriz.
Asıl sorun, gerçek sonsuzluğu (sonsuzlukta var olan bir nokta örne­ğindeki gibi bir sonsuzluğu) kavram-sallaştırmak. Ancak Lakoff ve Nü-nez'e göre, sonsuzluğu biz kontrol ediyoruz; sonsuzluk, fiziksel dünyada gördüğümüz ve deneyimle elde ettiği­miz şeylerin bazı niteliklerinin üste­sinden gelmek için bizim icat ettiği­miz birşey. Bu nedenle, onu kavram-sallaştırmak için akıllıca bir yol bul­duk. Buna "sonsuzluğun temel meca­zı" (basic metaphor of infinity - BMI) deniyor. Böylece, tekrarlanan herhan­gi bir sürece mecazi bir son vermiş oluyoruz.
Araştırmacılar, BMI'nin Sokrat-ön-cesi Yunan felsefesinde bulunduğunu düşünüyorlar: her nesne, daha yük­sek bir sınıfın bir üyesidir. Bir inek, inek sınıfının; bir keçi, Keçi sınıfının bir üyesidir. İnek ve Keçi sınıflarının kendileri de birer nesneyi temsil ettik­leri için, onlar da daha yüksek bir sı­nıfın üyesidirler. Bu şekildeki sınıflar, nihai sınıf olan Varlık sınıfına gelince-
BİLİM ve TEKNİK 90 Aralık 2003